वक्रों x^{2}+y^{2}=8 और y^{2}=2x द्वारा परिबद | vedclass

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Question

(C) दिए गए वक्र $x^2+y^2=8$ $(i)$ और $y^2=2x$ $(ii)$ हैं।$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^2+2x-8=0$ प्राप्त होता है।$(x+4)(x-2)=0$,जिससे $x

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$2 \pi+\frac{4}{3}$

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(C) दिए गए वक्र $x^2+y^2=8$ $(i)$ और $y^2=2x$ $(ii)$ हैं।$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^2+2x-8=0$ प्राप्त होता है।$(x+4)(x-2)=0$,जिससे $x=2$ प्राप्त होता है (क्योंकि $y^2=2x$ के लिए $x \ge 0$)।$x=2$ के लिए,$y^2=4$,अतः $y=\pm 2$।प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 2)$ और $(2, -2)$ हैं।अभीष्ट क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,अतः क्षेत्रफल $= 2 	imes [	ext{वक्र } y^2=2x 	ext{ 	ext{द्वारा }} x=0 	ext{ 	ext{से }} 2 	ext{ 	ext{तक का क्षेत्र}} + 	ext{वक्र } x^2+y^2=8 	ext{ 	ext{द्वारा }} x=2 	ext{ 	ext{से }} 2\sqrt{2} 	ext{ 	ext{तक का क्षेत्र}}]$।क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_0^2 \sqrt{2x} \, dx + \int_2^{2\sqrt{2}} \sqrt{8-x^2} \, dx ight]$.$= 2 \left[ \sqrt{2} \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} ight)_0^2 + \left( \frac{x}{2} \sqrt{8-x^2} + \frac{8}{2} \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{8}} ight)_2^{2\sqrt{2}} ight]$.$= 2 \left[ \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} + \left( (0 + 4 \sin^{-1}(1)) - (1 \cdot \sqrt{4} + 4 \sin^{-1}(1/\sqrt{2})) ight) ight]$.$= 2 \left[ \frac{8}{3} + 4(\pi/2) - 2 - 4(\pi/4) ight] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 2\pi - 2 - \pi ight] = 2 \left[ \frac{2}{3} + \pi ight] = 2\pi + \frac{4}{3}$.

वक्रों $x^{2}+y^{2}=8$ और $y^{2}=2x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है

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