परवलय y=x^2+2 और रेखाओं y=x, x=0 तथा x=3 द्वा | vedclass

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Question

(D) $x=a$ से $x=b$ के बीच वक्रों $y=f(x)$ और $y=g(x)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ,क्षेत्र $

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$\frac{21}{2}$ वर्ग इकाई

Vedclass · Answer

(D) $x=a$ से $x=b$ के बीच वक्रों $y=f(x)$ और $y=g(x)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ,क्षेत्र $x=0$ से $x=3$ तक $y=x^2+2$ और $y=x$ द्वारा परिबद्ध है।चूंकि सभी $x \in [0, 3]$ के लिए $x^2+2 > x$ है,इसलिए आवश्यक क्षेत्रफल:$	ext{क्षेत्रफल} = \int_0^3 (x^2+2-x) dx$$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{x^2}{2} ight]_0^3$$= \left( \frac{3^3}{3} + 2(3) - \frac{3^2}{2} ight) - (0)$$= \left( \frac{27}{3} + 6 - \frac{9}{2} ight)$$= 9 + 6 - 4.5$$= 15 - 4.5 = 10.5 = \frac{21}{2} 	ext{ वर्ग इकाई}$.

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

परवलय $y=x^2+2$ और रेखाओं $y=x, x=0$ तथा $x=3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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मान लीजिए कि क्षेत्र $\{(x, y): 2y \leq x^2+3, y +|x| \leq 3, y \geq|x-1|\}$ का क्षेत्रफल $A$ है। तो $6A$ का मान ज्ञात कीजिए:

वक्रों $y=\frac{1}{4}\left|4-x^2\right|$ और $y=7-|x|$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है

परवलयों $x^2 = \frac{y}{4}$ और $x^2 = 9y$ तथा रेखा $y = 2$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

क्षेत्र $R = \{(x, y) : 5x^2 \leq y \leq 2x^2 + 9\}$ का क्षेत्रफल ........ $\text{square units}$ है। ($\sqrt{3}$ में)

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