अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अनंतस्पर्शी,अतिपरवलय की किसी भी स्पर्श रेखा के साथ एक त्रिभुज बनाते हैं जिसका क्षेत्रफल $a^2 \tan \lambda$ है। तो इसकी उत्केंद्रता $e$ है:

अतिपरवलय $4x^2 - 5y^2 = 20$ के लिए रेखा $x - y = 2$ के समांतर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के किन्हीं दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ एक वृत्त है,जिसे अतिपरवलय का नियामक वृत्त (director circle) कहा जाता है। इस वृत्त का समीकरण क्या है?

यदि $\frac{x^2}{\alpha+3}+\frac{y^2}{2-\alpha}=1$ एक अतिपरवलय (hyperbola) को दर्शाता है,तो $\alpha$ किस अंतराल में स्थित है?

मान लीजिए कि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की उत्केंद्रता,दीर्घवृत्त $x^2+4y^2=4$ की उत्केंद्रता की व्युत्क्रम है। यदि अतिपरवलय दीर्घवृत्त की एक नाभि से होकर गुजरता है,तो:

मान लीजिए कि $S$ रेखाओं के युग्म $4x - 3y = 12\alpha$ और $4\alpha x + 3\alpha y = 12$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ है, जहाँ $\alpha$ गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर भिन्न होता है। मान लीजिए कि $T$, $S$ की स्पर्श रेखा है जो बिंदुओं $(p, 0)$ और $(0, q)$, $q > 0$ से गुजरती है और रेखा $4x - \frac{3}{\sqrt{2}}y = 0$ के समानांतर है। तो $pq$ का मान ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{2}$ में)