r त्रिज्या और m द्रव्यमान की एक डिस्क का केंद | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि डिस्क को संतुलन स्थिति से $	heta$ कोण पर विस्थापित किया जाता है। चाप के अनुदिश डिस्क के केंद्र का विस्थापन $x = (R-r)	heta$ है।निका

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{\frac{2}{3}\left(\frac{g}{R-r}+\frac{k}{m}\right)}$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए कि डिस्क को संतुलन स्थिति से $	heta$ कोण पर विस्थापित किया जाता है। चाप के अनुदिश डिस्क के केंद्र का विस्थापन $x = (R-r)	heta$ है।निकाय की कुल ऊर्जा $E$,स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा,डिस्क की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा और डिस्क की गतिज ऊर्जा (स्थानांतरणीय + घूर्णन) का योग है।$E = \frac{1}{2} k x^2 + mg(R-r)(1 - \cos 	heta) + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega_{rot}^2$यहाँ $x = (R-r)	heta$,$v = (R-r)\dot{	heta}$,और बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega_{rot} = \frac{v}{r} = \frac{(R-r)\dot{	heta}}{r}$। अपने केंद्र के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ है।$E = \frac{1}{2} k (R-r)^2 	heta^2 + mg(R-r) \frac{	heta^2}{2} + \frac{1}{2} m (R-r)^2 \dot{	heta}^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2}mr^2) (\frac{(R-r)\dot{	heta}}{r})^2$$E = \frac{1}{2} [k(R-r)^2 + mg(R-r)] 	heta^2 + \frac{1}{2} [m(R-r)^2 + \frac{1}{2}m(R-r)^2] \dot{	heta}^2$$E = \frac{1}{2} [k(R-r)^2 + mg(R-r)] 	heta^2 + \frac{3}{4} m(R-r)^2 \dot{	heta}^2$चूंकि कुल ऊर्जा संरक्षित है,$\frac{dE}{dt} = 0$:$[k(R-r)^2 + mg(R-r)] 	heta \dot{	heta} + \frac{3}{2} m(R-r)^2 \dot{	heta} \ddot{	heta} = 0$$\dot{	heta}$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\dot{	heta} 
eq 0$):$\ddot{	heta} + \frac{k(R-r)^2 + mg(R-r)}{\frac{3}{2} m(R-r)^2} 	heta = 0$$\ddot{	heta} + \frac{2}{3} [\frac{k}{m} + \frac{g}{R-r}] 	heta = 0$$SHM$ के मानक समीकरण $\ddot{	heta} + \omega^2 	heta = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\omega = \sqrt{\frac{2}{3} [\frac{k}{m} + \frac{g}{R-r}]}$अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ वस्तु $x$-अक्ष पर एक संरक्षी बल के अंतर्गत इस प्रकार गति करती है कि उसकी चाल $v = c_1 \sqrt{c_2 - x^2}$ है,जहाँ $c_1, c_2 > 0$ है।	$(p)$ वस्तु सरल आवर्त गति करती है।
$(B)$ वस्तु $x$-अक्ष पर इस प्रकार गति करती है कि उसका वेग $v = -kx$ है,जहाँ $k > 0$ है।	$(q)$ वस्तु अपनी दिशा नहीं बदलती है।
$(C)$ एक वस्तु लिफ्ट में स्प्रिंग से जुड़ी है जो $a$ त्वरण से ऊपर जा रही है। लिफ्ट से गति का अवलोकन किया जाता है।	$(r)$ वस्तु की गतिज ऊर्जा लगातार घटती जाती है।
$(D)$ वस्तु को $2 \sqrt{GM_e / R_e}$ की चाल से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है।	$(s)$ वस्तु केवल एक बार अपनी दिशा बदल सकती है।

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