$y^2 = 4ax$ परवलय पर किसी भी बिंदु से खींचे गए अभिलंबों के पाद को जोड़ने से बनने वाले त्रिभुज का केंद्रक (centroid) कहाँ स्थित होता है?

तीन बिंदु $O(0,0)$,$P(a, a^2)$,और $Q(-b, b^2)$ जहाँ $a > 0$ और $b > 0$ परवलय $y = x^2$ पर स्थित हैं। मान लीजिए $S_1$ रेखा $PQ$ और परवलय द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है,और $S_2$ त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल है। यदि $\frac{S_1}{S_2}$ का न्यूनतम मान $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$,तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए:

परवलय $y^2 = 4ax$ के नाभिलंब के अंतिम बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण क्या हैं?

यदि परवलय $y^2 = 4ax$ के $t_1$ प्राचल (parameter) वाले बिंदु पर खींचा गया अभिलंब,परवलय को पुनः $t_2$ प्राचल वाले बिंदु पर काटता है,तो:

माना परवलय $y^2 = kx$ की एक नाभिलंब जीवा $12x + 5y - 27 = 0$ परवलय को बिंदुओं $P$ और $P^{\prime}$ पर प्रतिच्छेद करती है। यदि $S$ इस परवलय की नाभि है,तो $9(SP + SP^{\prime}) = $

परवलय $y=x^2-3x+2$ के लिए,List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं से सुमेलित करें। $S$ एक नाभि है,$Z$ अक्ष और नियता का प्रतिच्छेदन बिंदु है,$P$ नाभिलंब का एक अंतिम बिंदु है,$Q$ परवलय पर वह बिंदु है जहाँ स्पर्शरेखा $X$-अक्ष के समानांतर है।

$A$. $P$	$I$. $(2,0)$
$B$. $Q$	$II$. $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$
$C$. $S$	$III$. $(\frac{3}{2}, 0)$
$D$. $Z$	$IV$. $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$
	$V$. $(0, \frac{3}{2})$