(x^2+2x+2)^8 के विस्तार में x^{12} का गुणांक | vedclass

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Question

(C) हमें $(x^2+2x+2)^8$ में $x^{12}$ का गुणांक ज्ञात करना है। माना $f(x) = (x^2+2x+2)^8 = ((x+1)^2+1)^8$. द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$((x+1)^2+1)

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$2576$

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(C) हमें $(x^2+2x+2)^8$ में $x^{12}$ का गुणांक ज्ञात करना है। माना $f(x) = (x^2+2x+2)^8 = ((x+1)^2+1)^8$. द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$((x+1)^2+1)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (x+1)^{2k}$. हमें $x^{12}$ का गुणांक चाहिए। $(x+1)^{2k}$ पद में $x^{12}$ तब आता है जब $2k \ge 12$,अर्थात $k \ge 6$. विस्तार में सामान्य पद $\binom{8}{k} \binom{2k}{12} x^{12}$ है। $k=6, 7, 8$ के लिए योग करने पर: $k=6$ के लिए: $\binom{8}{6} \binom{12}{12} = 28 	imes 1 = 28$. $k=7$ के लिए: $\binom{8}{7} \binom{14}{12} = 8 	imes \binom{14}{2} = 8 	imes 91 = 728$. $k=8$ के लिए: $\binom{8}{8} \binom{16}{12} = 1 	imes \binom{16}{4} = 1 	imes 1820 = 1820$. कुल गुणांक = $28 + 728 + 1820 = 2576$.

$(x^2+2x+2)^8$ के विस्तार में $x^{12}$ का गुणांक है

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