(1 + t^2)^{25} (1 + t^{25}) (1 + t^{40}) (1 + | vedclass

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Question

(A) माना व्यंजक $P(t) = (1 + t^2)^{25} (1 + t^{25} + t^{40} + t^{45} + t^{47})$ है।
हमें $P(t)$ के विस्तार में $t^{50}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1

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$1 + ^{25}C_5$

Vedclass · Answer

(A) माना व्यंजक $P(t) = (1 + t^2)^{25} (1 + t^{25} + t^{40} + t^{45} + t^{47})$ है।
हमें $P(t)$ के विस्तार में $t^{50}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1 + t^2)^{25} = \sum_{k=0}^{25} {^{25}C_k} (t^2)^k = \sum_{k=0}^{25} {^{25}C_k} t^{2k}$ का विस्तार करने पर।
इसे $(1 + t^{25} + t^{40} + t^{45} + t^{47})$ से गुणा करते हैं।
$t^{50}$ प्राप्त करने के लिए,हम निम्नलिखित संयोजनों पर विचार करते हैं:
$1$. $(1 + t^2)^{25}$ से $t^{50}$ को $1$ से गुणा करना: यह $k=25$ के अनुरूप है,जो $^{25}C_{25} = 1$ देता है।
$2$. दूसरे कोष्ठक से $t^{25}$ को $(1 + t^2)^{25}$ से $t^{25}$ से गुणा करना: यह असंभव है क्योंकि $2k=25$ का कोई पूर्णांक हल नहीं है।
$3$. दूसरे कोष्ठक से $t^{40}$ को $(1 + t^2)^{25}$ से $t^{10}$ से गुणा करना: यह $2k=10 \implies k=5$ के अनुरूप है,जो $^{25}C_5$ देता है।
$4$. दूसरे कोष्ठक से $t^{45}$ को $(1 + t^2)^{25}$ से $t^5$ से गुणा करना: असंभव।
$5$. दूसरे कोष्ठक से $t^{47}$ को $(1 + t^2)^{25}$ से $t^3$ से गुणा करना: असंभव।
अतः,$t^{50}$ का गुणांक $^{25}C_{25} + ^{25}C_5 = 1 + ^{25}C_5$ है।

$(1 + t^2)^{25} (1 + t^{25}) (1 + t^{40}) (1 + t^{45}) (1 + t^{47})$ में $t^{50}$ का गुणांक क्या है?

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