વર્તુળ $x^2+y^2=2$ અને પરવલય $y^2=8x$ ના સામાન્ય સ્પર્શકો વર્તુળને $P, Q$ બિંદુઓ પર અને પરવલયને $R, S$ બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે. તો ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ એક ઉપવલય છે,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે અને નાભિલંબની લંબાઈ $\sqrt{14}$ છે. તો $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વર્ગ કેટલો થાય?

વર્તુળ $x^2+y^2=9$ અને પરવલય $y^2=8x$ ધ્યાનમાં લો. તેઓ અનુક્રમે પ્રથમ અને ચોથા ચરણમાં $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. $P$ અને $Q$ આગળ વર્તુળના સ્પર્શકો $x$-અક્ષને $R$ માં છેદે છે અને $P$ અને $Q$ આગળ પરવલયના સ્પર્શકો $x$-અક્ષને $S$ માં છેદે છે.
$1.$ ત્રિકોણ $PQS$ અને $PQR$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે
$(A)$ $1:\sqrt{2}$ $(B)$ $1:2$ $(C)$ $1:4$ $(D)$ $1:8$
$2.$ ત્રિકોણ $PRS$ ના પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા છે
$(A)$ $5$ $(B)$ $3\sqrt{3}$ $(C)$ $3\sqrt{2}$ $(D)$ $2\sqrt{3}$
$3.$ ત્રિકોણ $PQR$ ના અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા છે
$(A)$ $4$ $(B)$ $3$ $(C)$ $8/3$ $(D)$ $2$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના નાભિઓ એકરૂપ હોય,તો $b^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$,જ્યાં $y_1 < 0$ અને $y_2 < 0$,એ ઉપવલય $x^2 + 4y^2 = 4$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ છે. નાભિલંબ $PQ$ ધરાવતા પરવલયોના સમીકરણો કયા છે?
$(A) x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$
$(B) x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$
$(C) x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$
$(D) x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$

જો $\theta \in \left[-\frac{\pi}{3}, 0\right]$ માટે,બિંદુઓ $(x, y) = \left(3 \tan \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right), 2 \tan \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right)$ એ $xy+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ પર આવેલા હોય,તો $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ ની કિંમત શોધો: