फलन f(x) = x^3 + px^2 + qx + r (x in R) का को | vedclass

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Question

(A) किसी फलन $f(x)$ का कोई चरम मान न होने के लिए, इसके अवकलज $f'(x)$ को अपना चिह्न नहीं बदलना चाहिए। इसका अर्थ है कि $f'(x)$ या तो हमेशा गैर-ऋणात्मक (

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$p^2 < 3q$

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(A) किसी फलन $f(x)$ का कोई चरम मान न होने के लिए, इसके अवकलज $f'(x)$ को अपना चिह्न नहीं बदलना चाहिए। इसका अर्थ है कि $f'(x)$ या तो हमेशा गैर-ऋणात्मक (non-negative) होना चाहिए या हमेशा गैर-धनात्मक (non-positive) होना चाहिए। दिया गया है $f(x) = x^3 + px^2 + qx + r$. इसका अवकलज $f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ है। यदि $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है, तो द्विघात समीकरण $3x^2 + 2px + q = 0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं होने चाहिए या समान मूल होने चाहिए। इसका अर्थ है कि विविक्तकर (discriminant) $D \le 0$ होना चाहिए। विविक्तकर $D = (2p)^2 - 4(3)(q) = 4p^2 - 12q$. $D \le 0$ रखने पर, हमें $4p^2 - 12q \le 0$ प्राप्त होता है। $4$ से विभाजित करने पर, $p^2 - 3q \le 0$ या $p^2 \le 3q$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार, शर्त $p^2 < 3q$ सही विकल्प है।

फलन $f(x) = x^3 + px^2 + qx + r$ $(x \in R)$ का कोई चरम मान (extreme value) न होने की शर्त क्या है?

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यदि $A = \{x \in R : \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{3}\}$ और $f(x) = \sin x - x$ है,तो $f(A)$ का मान क्या होगा?

फलन $f(x)=x \sqrt{1-x}$,जहाँ $x \in(0,1)$,का स्थानीय उच्चतम $x=$ पर है।

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सिद्ध कीजिए कि $R$ त्रिज्या वाले गोले के अंतर्गत सबसे बड़े शंकु का आयतन गोले के आयतन का $\frac{8}{27}$ होता है।

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