ઉપવલય $x^{2}+2y^{2}=4$ ના સહાયક વર્તુળ પરના બિંદુના યામ, જે ઉપવલય પરના બિંદુને અનુરૂપ છે જેનો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $60^{\circ}$ છે, તે શું હશે?

ધારો કે પ્રથમ ચરણમાં આવેલ બિંદુ $L$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ના નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ એ બિંદુઓ છે જ્યાં $L$ આગળ દોરેલ અભિલંબ આ આપેલ ઉપવલયના મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષને મળે છે. તો $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ઉપવલયો $E_{k}: kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $k = 1, 2, \ldots, 20$. ધારો કે $C_{k}$ એ વર્તુળ છે જે ઉપવલય $E_{k}$ ના અંતિમ બિંદુઓને (એક ગૌણ અક્ષ પર અને બીજું મુખ્ય અક્ષ પર) જોડતી ચાર જીવાઓને સ્પર્શે છે. જો $r_{k}$ એ વર્તુળ $C_{k}$ ની ત્રિજ્યા હોય,તો $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}}$ નું મૂલ્ય $.......$ છે.

ઉપવલય $9x^2 + 25y^2 = 225$ ના નાભિઓ ........... છે.

વિધાન $-1$: જો એક બિંદુમાંથી ઉપવલય (ellipse) પર બે સ્પર્શકો દોરવામાં આવે અને જો તેઓ એકબીજાને લંબ હોય,તો તે બિંદુનો બિંદુપથ હંમેશા એક વર્તુળ હોય છે.
વિધાન $-2$: ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,જે બિંદુમાંથી બે લંબ સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે તેનો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.

જો ઉપવલય $x^2+4y^2-4=0$ પરના બિંદુ $P(\frac{\pi}{4})$ આગળ દોરેલ અભિલંબ ઉપવલયને ફરીથી $Q(\alpha, \beta)$ બિંદુએ મળે,તો $\alpha=$