e^{ax} cos bx का x के सापेक्ष अवकलज re^{ax} c | vedclass

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Question

(A) माना $y = e^{ax} \cos bx$.गुणन नियम का उपयोग करते हुए,अवकलज है:$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{ax}) \cdot \cos bx + e^{ax} \cdot \frac{d}{dx}(\co

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$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Vedclass · Answer

(A) माना $y = e^{ax} \cos bx$.गुणन नियम का उपयोग करते हुए,अवकलज है:$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{ax}) \cdot \cos bx + e^{ax} \cdot \frac{d}{dx}(\cos bx)$$\frac{dy}{dx} = ae^{ax} \cos bx - be^{ax} \sin bx$$\frac{dy}{dx} = e^{ax} (a \cos bx - b \sin bx)$माना $a = r \cos \alpha$ और $b = r \sin \alpha$.तब $a^2 + b^2 = r^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = r^2$.अतः,$r = \sqrt{a^2 + b^2}$.इन मानों को अवकलज व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{dy}{dx} = e^{ax} (r \cos \alpha \cos bx - r \sin \alpha \sin bx)$$\frac{dy}{dx} = re^{ax} (\cos bx \cos \alpha - \sin bx \sin \alpha)$त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:$\frac{dy}{dx} = re^{ax} \cos(bx + \alpha)$इसलिए,$r = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$e^{ax} \cos bx$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज $re^{ax} \cos(bx + \alpha)$ है,जहाँ $\alpha = \tan^{-1}(\frac{b}{a})$ है। जब $a > 0, b > 0$ हो,तो $r$ का मान क्या है?

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