समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण रेखाओं $x + 3y = 4$ और $6x - 2y = 7$ के अनुदिश हैं। तो $PQRS$ क्या होना चाहिए?

मान लीजिए कि $\left(5, \frac{a}{4}\right)$ एक त्रिभुज का परिकेंद्र है जिसके शीर्ष $A(a, -2)$,$B(a, 6)$ और $C\left(\frac{a}{4}, -2\right)$ हैं। यदि $\alpha$ परित्रिज्या,$\beta$ क्षेत्रफल और $\gamma$ त्रिभुज का परिमाप दर्शाता है,तो $\alpha + \beta + \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $B$ और $C$ रेखा $y+x=0$ पर दो बिंदु हैं,इस प्रकार कि $B$ और $C$ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित हैं। मान लीजिए $A$ रेखा $y-2x=2$ पर एक बिंदु है,इस प्रकार कि $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है। तब,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल है

त्रिभुज $ABC$ में अंतर्निहित वर्ग $PQRS$ के शीर्षों $P, Q, R$ और $S$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए,जहाँ $A \equiv (0, 0)$,$B \equiv (3, 0)$,और $C \equiv (2, 1)$ है और इसके दो शीर्ष $P$ और $Q$ भुजा $AB$ पर स्थित हैं:

यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाओं के समीकरण $x = 2$,$y + 1 = 0$ और $x + 2y = 4$ हैं,तो इस त्रिभुज के परिकेंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $m_{1}, m_{2}$ भुजा $a$ वाले एक वर्ग की दो आसन्न भुजाओं के ढाल (slopes) हैं,इस प्रकार कि $a^{2}+11 a+3(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})=220$ है। यदि वर्ग का एक शीर्ष $(10(\cos \alpha-\sin \alpha), 10(\sin \alpha+\cos \alpha))$ है,जहाँ $\alpha \in(0, \frac{\pi}{2})$ है और एक विकर्ण का समीकरण $(\cos \alpha-\sin \alpha) x +(\sin \alpha+\cos \alpha) y =10$ है,तो $72(\sin ^{4} \alpha+\cos ^{4} \alpha)+a^{2}-3 a+13$ का मान ज्ञात कीजिए।