अंतराल [-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}] पर फलन f(x | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = -x + \sin 2x$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ पर है।सबसे पहले,$f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।$f'(x) = -1

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$\pi$

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(A) दिया गया फलन $f(x) = -x + \sin 2x$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ पर है।सबसे पहले,$f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।$f'(x) = -1 + 2 \cos 2x = 0$$\cos 2x = \frac{1}{2}$चूंकि $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए $2x \in [-\pi, \pi]$ है।अतः,$2x = \pm \frac{\pi}{3}$,जिससे $x = \pm \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:$f(-\frac{\pi}{2}) = -(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\pi) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$$f(-\frac{\pi}{6}) = -(-\frac{\pi}{6}) + \sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$f(\frac{\pi}{6}) = -(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$f(\frac{\pi}{2}) = -(\frac{\pi}{2}) + \sin(\pi) = -\frac{\pi}{2} + 0 = -\frac{\pi}{2}$इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $M = \frac{\pi}{2}$ और न्यूनतम मान $m = -\frac{\pi}{2}$ है।अतः अंतर $M - m = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$ है।

अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ पर फलन $f(x) = -x + \sin 2x$ के अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

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