एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर (damped harmonic | vedclass

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Question

(D) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का विस्थापन $x(t) = A(t) \cos(\omega t + \varphi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ है।दिए गए समीकरण

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$7$

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(D) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का विस्थापन $x(t) = A(t) \cos(\omega t + \varphi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ है।दिए गए समीकरण $x(t) = e^{-0.1 t} \cos(10 \pi t + \varphi)$ के साथ तुलना करने पर,आयाम $A(t) = A_0 e^{-0.1 t}$ है,जहाँ $A_0 = 1$ है।हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब आयाम अपने प्रारंभिक मान का आधा हो जाए,अर्थात $A(t) = \frac{A_0}{2}$।इसे आयाम समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-0.1 t}$।दोनों पक्षों को $A_0$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2} = e^{-0.1 t}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(0.5) = -0.1 t$।चूंकि $\ln(0.5) = -\ln(2) \approx -0.693$,इसलिए: $-0.693 = -0.1 t$।$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{0.693}{0.1} = 6.93 \ s$।निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$t \approx 7 \ s$ प्राप्त होता है।

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