रेखा $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{12}$ और समतल $x-y+z=5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से बिंदु $(-1, -5, -10)$ की दूरी क्या है ($\text{इकाई}.$ में)?

$z$-अक्ष और रेखा $x + y + 2z - 3 = 0 = 2x + 3y + 4z - 4$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P$ एक समतल है,जो समतलों $x + y + z - 6 = 0$ और $2x + 3y + z + 5 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर गुजरता है और यह $xy$-समतल के लंबवत है। तो बिंदु $(0, 0, 256)$ की $P$ से दूरी क्या है?

यदि $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{c}=-\hat{k}$ दो बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं, और $\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$ तथा $\vec{d}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ दो सदिश हैं, तो रेखाएं $\vec{r}=\vec{a}+t \vec{b}$ और $\vec{r}=\vec{c}+s \vec{d}$ हैं:

मान लीजिए कि बिंदु $P(1,2,-1)$ से सीधी रेखा $L: \frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{-1}$ पर डाले गए लंब का पाद $N$ है। मान लीजिए कि $P$ से एक रेखा समतल $x+y+2z=0$ के समानांतर खींची गई है जो $L$ से बिंदु $Q$ पर मिलती है। यदि $\alpha$ रेखाओं $PN$ और $PQ$ के बीच का न्यून कोण है,तो $\cos \alpha$ का मान $.....$ है।

मान लीजिए $P$ वह समतल है जो समतलों $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 5$ और $\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 3$ के प्रतिच्छेदन और बिंदु $(2, 1, -2)$ से होकर गुजरता है। मान लीजिए बिंदुओं $X$ और $Y$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ और $5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ हैं। तो बिंदु: