જે અતિવલયની નાભિલંબની લંબાઈ $8$ હોય અને તેના અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ તેની નાભિઓ વચ્ચેના અંતરથી અડધી હોય,તો તે અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો:

જો અતિવલય $4y^2 = x^2 + 1$ પર દોરેલા સ્પર્શકો યામ અક્ષોને ભિન્ન બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે,તો $AB$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ શોધો.

એક અતિવલય (hyperbola) એ ઉપવલય (ellipse) $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$ ના નાભિ (focus) માંથી પસાર થાય છે. તેના મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો અનુક્રમે ઉપવલયના મોટા અને નાના અક્ષો સાથે સંપાતી છે. તેમની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $1$ છે. તો,અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

અતિવલય $x^2 - y^2 = 8$ પરના કોઈપણ બિંદુથી તેના અનંતસ્પર્શકો પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

$x \cos \phi + y \sin \phi = P$ સ્વરૂપની રેખાઓ એ અતિવલય $4x^2 - y^2 = 4a^2$ ની જીવાઓ છે જે અતિવલયના કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરે છે. જો આ જીવાઓ $(0,0)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળને સ્પર્શતી હોય,તો તે વર્તુળની ત્રિજ્યા કેટલી થાય?

અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ ની નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી છે?