समीकरण $2y^2 - xy - x^2 + 6x - 8 = 0$ क्या दर्शाता है?

$3x^2 - 4xy + y^2 = 0$ और $2x - y = 6$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

कथन $(A)$: $y^2 - 2xy \sec^2 \alpha + (3 + \tan^2 \alpha)(\tan^2 \alpha - 1) x^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के ढालों का अंतर $4$ है।
कारण $(R)$: $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के ढालों का अंतर $\frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{|b|}$ है।

$x^2-5xy+4y^2=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के लंबवत और $(2,1)$ बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाओं $x^2 - 4xy - y^2 = 0$ द्वारा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाए गए कोण $\theta_1$ और $\theta_2$ हैं,तो $\sec^2(\theta_1 + \theta_2) + |\frac{1}{\tan \theta_1} + \frac{1}{\tan \theta_2}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $ax^2 + 4xy + y^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के युग्म में से एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल की $3$ गुनी है,तो $a$ का मान क्या है?