समीकरण $13[{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2}] = 3{(2x + 3y - 2)^2}$ क्या दर्शाता है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{20} - \frac{3y^2}{4} = 1$ की उन स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जो रेखा $x + 3y = 7$ के समांतर हैं।

वक्र $xy = c^2$ को क्या कहा जाता है?

यदि बिंदु $(4,6)$ से गुजरने वाले अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की उत्केंद्रता $2$ है,तो $(4,6)$ पर इस अतिपरवलय के स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है?

मान लीजिए $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $a > 1$ और $b < a$ है। मान लीजिए $P$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु है जो अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित है। मान लीजिए $P$ पर अतिपरवलय की स्पर्श रेखा बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरती है,और मान लीजिए $P$ पर अतिपरवलय का अभिलंब निर्देशांक अक्षों पर समान अंतःखंड काटता है। मान लीजिए $\Delta$ उस त्रिभुज का क्षेत्रफल है जो $P$ पर स्पर्श रेखा,$P$ पर अभिलंब और $x$-अक्ष द्वारा बनता है। यदि $e$ अतिपरवलय की उत्केंद्रता को दर्शाता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $1 < e < \sqrt{2}$
$(B)$ $\sqrt{2} < e < 2$
$(C)$ $\Delta = a^4$
$(D)$ $\Delta = b^4$

मान लीजिए कि अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का नाभिलंब,अतिपरवलय के केंद्र पर $\frac{\pi}{3}$ का कोण अंतरित करता है। यदि $b^2 = \frac{l}{m}(1+\sqrt{n})$ है,जहाँ $l$ और $m$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं,तो $l^2+m^2+n^2$ का मान . . . . . . है।