परवलय $y^{2}=8 \sqrt{3} x$ और अतिपरवलय $4 x^{2}-y^{2}=4$ की धनात्मक ढाल वाली उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है?

यदि वक्र $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ और $x^2 - y^2 = c^2$ समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो:

एक ऐसे बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो इस प्रकार गति करता है कि उसकी $(0, 0)$ बिंदु से दूरी,$y$-अक्ष से उसकी दूरी की दोगुनी है।

माना $PQ$ परवलय $y^{2}=4x$ की एक नाभिलंब जीवा है जो बिंदु $(3, 0)$ पर $\frac{\pi}{2}$ का कोण अंतरित करती है। माना रेखाखंड $PQ$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$ की भी एक नाभिलंब जीवा है। यदि $e$ दीर्घवृत्त $E$ की उत्केंद्रता है,तो $\frac{1}{e^{2}}$ का मान है

अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ की उन जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ,जो परवलय $x^2 = 4by$ की स्पर्श रेखाएँ हैं,होगा -

यदि वक्र $y^2 = 6x$ और $9x^2 + by^2 = 16$ एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं,तो $b$ का मान ज्ञात कीजिए।