(0, 1) बिंदु से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज् | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + y}$ है।व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + y}{y} = \frac{x}{y} + 1$ प्राप्त होता है

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$y = e^{\frac{x}{y}}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + y}$ है।व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + y}{y} = \frac{x}{y} + 1$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 1$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ है।$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2} x = \frac{1}{y}$ प्राप्त होता है।$y$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{x}{y} = \int \frac{1}{y} dy = \ln |y| + C$ प्राप्त होता है।चूंकि वक्र $(0, 1)$ से गुजरता है, $x=0, y=1$ रखने पर: $\frac{0}{1} = \ln(1) + C \implies C = 0$ प्राप्त होता है।अतः, $\frac{x}{y} = \ln y$, जिसका अर्थ है $y = e^{\frac{x}{y}}$।

$(0, 1)$ बिंदु से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{y}{x + y}$ है:

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