दीर्घवृत्त का मानक रूप में समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभिलंब की लंबाई $4$ है और जिसकी नाभियों के बीच की दूरी $4 \sqrt{2}$ है।

यदि एक दीर्घवृत्त (ellipse) की नाभियों के बीच की दूरी उसके लघु अक्ष (minor axis) के बराबर है,तो उसकी उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

बिंदु $(2 \cos \theta-3, 3 \sin \theta-4)$ के बिंदुपथ का समीकरण है

मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ दो दीर्घवृत्त हैं जिनके केंद्र मूल बिंदु पर हैं। $E_1$ और $E_2$ के मुख्य अक्ष क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं। मान लीजिए $S$ वृत्त $x^2+(y-1)^2=2$ है। सरल रेखा $x+y=3$ वक्रों $S, E_1$ और $E_2$ को क्रमशः $P, Q$ और $R$ पर स्पर्श करती है। मान लीजिए $PQ=PR=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ है। यदि $e_1$ और $e_2$ क्रमशः $E_1$ और $E_2$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो सही व्यंजक है/हैं:
$(A) e_1^2+e_2^2=\frac{43}{40}$
$(B) e_1 e_2=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{10}}$
$(C) |e_1^2-e_2^2|=\frac{5}{8}$
$(D) e_1 e_2=\frac{\sqrt{3}}{4}$

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{1}=1$ पर किसी बिंदु पर एक स्पर्श रेखा पर विचार करें। अक्षों के बीच कटे हुए भाग के मध्य बिंदु का बिंदु पथ क्या है?

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ पर स्थित बिंदु $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $\frac{7}{4}$ है। तो ऐसे दो दीर्घवृत्तों की उत्केंद्रताओं का निरपेक्ष अंतर (absolute difference) क्या है?