ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં સમીકરણ શોધો જેની નાભિલંબની લંબાઈ $4$ છે અને તેની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $4 \sqrt{2}$ છે.

જો $P(\theta)$ અને $Q\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બે બિંદુઓ હોય અને $PQ$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ હોય,તો $\frac{a+b}{\alpha+\beta}=$

ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 + 8x + 36y + 4 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

એક ઉપવલય (ellipse) ના નાભિલંબની લંબાઈ $10$ છે અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ તેની નાભિઓ વચ્ચેના અંતર જેટલી છે. તો તે ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $E$ એક ઉપવલય છે જેની મુખ્ય અક્ષ $X$-અક્ષ છે અને ગૌણ અક્ષ $Y$-અક્ષ છે. જો $E$ પરના બિંદુ $P \left(\frac{5}{2}, 2 \sqrt{3}\right)$ નું તેના નાભિઓથી અંતર $\frac{7}{2}$ અને $\frac{13}{2}$ હોય,તો ઉપવલય $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લંબવૃત્ત (ellipse) ની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ ($y$-અક્ષ પર) $\frac{4}{\sqrt{3}}$ છે. જો આ લંબવૃત્ત રેખા $x+6y=8$ ને સ્પર્શે છે,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.