उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके अक्ष निर्देशांक अक्ष हैं,नाभियों के बीच की दूरी $16$ है और उत्केंद्रता $\sqrt{2}$ है:

एक बिंदु का बिंदुपथ जो इस प्रकार गति करता है कि दो स्थिर बिंदुओं से उसकी दूरियों का अंतर हमेशा एक स्थिरांक रहता है,वह है

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) की नाभियाँ,दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ की नाभियों के समान हैं और अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity) $2$ है,तो उसका समीकरण क्या होगा?

रेखा $2x + y = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ की स्पर्शरेखा है। यदि यह रेखा नियता और धनात्मक $X$-अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है,तो उस अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है?

वृत्त $x^2 + y^2 = 10$ के भीतर उन पूर्णांक बिंदुओं $(x, y)$ की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ से वक्र $\sqrt{(x + 5\sqrt{2})^2 + y^2} - \sqrt{(x - 5\sqrt{2})^2 + y^2} = 10$ पर केवल एक वास्तविक स्पर्शरेखा खींची जा सके (जहाँ पूर्णांक बिंदु $(x, y)$ का अर्थ है $x, y \in \mathbb{Z}$):

$PQ$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक द्वि-कोटि (double ordinate) है, इस प्रकार कि $\triangle OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है, जहाँ $O$ अतिपरवलय का केंद्र है। तब अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ किस शर्त को संतुष्ट करती है?