PQ अतिपरवलय frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = | vedclass

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Question

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(a \sec 	heta, b 	an 	heta)$ हैं। चूँकि $PQ$ एक द्वि-कोटि है, $Q$ के निर्देशांक $(a \sec 	heta, -b 	an 	heta)$ होंगे

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$e > 2 / \sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(a \sec 	heta, b 	an 	heta)$ हैं। चूँकि $PQ$ एक द्वि-कोटि है, $Q$ के निर्देशांक $(a \sec 	heta, -b 	an 	heta)$ होंगे।दिया गया है कि $	riangle OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है, इसलिए $\angle POD = 30^{\circ}$, जहाँ $D$ बिंदु $(a \sec 	heta, 0)$ है।$	riangle OPD$ में, $	an 30^{\circ} = \frac{PD}{OD} = \frac{b 	an 	heta}{a \sec 	heta}$ है।$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{a} \sin 	heta \implies \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3} \sin 	heta}$।हम जानते हैं कि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{1}{3 \sin^2 	heta}$ होता है।चूँकि $0  1$ है।अतः, $e^2 = 1 + \frac{1}{3 \sin^2 	heta} > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$।इस प्रकार, $e > \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

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