उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके अनंतस्पर्शी $3x+4y-2=0$ और $2x+y+1=0$ रेखाएं हैं और जो बिंदु $(1,1)$ से होकर गुजरता है।

$(1, -1)$ पर नाभि,$x - y + 1 = 0$ रेखा पर नियता और $\sqrt{2}$ उत्केंद्रता वाले शांकव का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर किसी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) तक की लंबवत दूरियों का गुणनफल $6$ है और अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity) $\sqrt{3}$ है,तो अतिपरवलय के संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) की लंबाई ज्ञात कीजिए।

यदि $e_1$ और $e_2$ क्रमशः अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ और इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं,तो रेखा $\frac{x}{2 e_1}+\frac{y}{2 e_2}=1$ मूल बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त को स्पर्श करती है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नियामक वृत्त (director circle) की त्रिज्या है

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर दो बिंदु $P$ और $Q$ इस प्रकार हैं कि उनका केंद्र $C$ है और $CP, CQ$ पर लंबवत है,जहाँ $a < b$,तो $\frac{1}{(CP)^2} + \frac{1}{(CQ)^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।