रेखाओं $x=0, y=0$ और $3x+4y-24=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के अंतःवृत्त (incircle) का समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि सम्मिश्र तल में एक वृत्त $C$,बिंदुओं $z_{1}=3+4i$,$z_{2}=4+3i$ और $z_{3}=5i$ से होकर गुजरता है। यदि $z(\neq z_{1})$ वृत्त $C$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $z$ और $z_{1}$ से होकर जाने वाली रेखा,$z_{2}$ और $z_{3}$ से होकर जाने वाली रेखा के लंबवत है,तो $\arg(z)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $C_1$ तीसरे चतुर्थांश में $3$ त्रिज्या वाला वृत्त है,जो दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है। मान लीजिए $C_2$ केंद्र $(1,3)$ वाला वृत्त है जो $C_1$ को बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करता है। यदि $(\beta-\alpha)^2=\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $C$ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या $\sqrt{10}$ इकाई है और केंद्र मूल बिंदु पर है। मान लीजिए रेखा $x+y=2$ वृत्त $C$ को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटती है। मान लीजिए $MN$,$C$ की एक जीवा है जिसकी लंबाई $2$ इकाई और ढाल $-1$ है। तो,जीवा $PQ$ और जीवा $MN$ के बीच की दूरी (इकाई में) है

यदि $P$ वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ पर एक बिंदु है, $Q$ सरल रेखा $5x+y+2=0$ पर एक बिंदु है और $x-y+1=0$ रेखा $PQ$ का लंब समद्विभाजक है, तो ऐसे सभी बिंदुओं $P$ के भुज (abscissae) के योग का $13$ गुना ........... है।

यदि वृत्त $x^2 + y^2 - 6x - 8y + (25 - a^2) = 0$,$x$-अक्ष को स्पर्श करता है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।