समतल x+2y+3z=4 और रेखा frac{x-1}{2}=frac{y+1} | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}=r$ पर सामान्य बिंदु $P(2r+1, r-1, 1-r)$ है।चूंकि $P$ समतल $x+2y+3z=4$ पर स्थित है,हम $P

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$\frac{x-5}{-3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{-7}$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}=r$ पर सामान्य बिंदु $P(2r+1, r-1, 1-r)$ है।चूंकि $P$ समतल $x+2y+3z=4$ पर स्थित है,हम $P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:$(2r+1) + 2(r-1) + 3(1-r) = 4$$2r + 1 + 2r - 2 + 3 - 3r = 4$$r + 2 = 4 \Rightarrow r = 2$.$r=2$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $P(5, 1, -1)$ प्राप्त होता है।वांछित रेखा का दिशा सदिश क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा दिया जाता है:$\vec{v} = (2\hat{i}-3\hat{j}) 	imes (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & -3 & 0 \ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$= \hat{i}(3-0) - \hat{j}(-2-0) + \hat{k}(4+3) = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k}$.बिंदु $(5, 1, -1)$ से गुजरने वाली और $(3, 2, 7)$ दिशा वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-5}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{7}$ है।हर को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x-5}{-3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+1}{-7}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ से मेल खाता है।

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समतलों $x+2y+z-4=0$ और $2x-y+z-3=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

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