અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 3$ પરના બિંદુ $(6, 4)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ શું છે?

જેના અનંતસ્પર્શકો $3x+4y-2=0$ અને $2x+y+1=0$ રેખાઓ છે અને જે $(1,1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે તેવા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

વિધાન: અતિવલય $9x^2 - 16y^2 = 9$ પરના બિંદુઓ $P(\frac{\pi}{4})$ અને $P(\frac{\pi}{3})$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{1}{4} \sqrt{66 - 32\sqrt{2} - 18\sqrt{3}}$ છે.
કારણ: $x = a \cosh t, y = b \sinh t$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના પ્રચલ સમીકરણો છે.

ધારો કે વિધેય $f(x) = \log_{3}\log_{5}\log_{7}(9x - x^{2} - 13)$ નો પ્રદેશ $(m, n)$ અંતરાલ છે. ધારો કે અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{n}{3}$ છે અને નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{8m}{3}$ છે. તો $b^{2} - a^{2}$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ અને $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ જ્યાં $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(h, k)$ એ $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય,તો $k=$

એક અતિવલય (hyperbola) ના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $16$ છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) $\sqrt{2}$ છે. તેનું સમીકરણ શોધો.