वह वक्र जो अवकल समीकरण (1 + y^2) dx - xy, dy | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + y^2) dx = xy dy$चरों को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{y dy}{1 + y^2}$दोनों पक्षों क

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$(\pm \sqrt{2}, 0)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + y^2) dx = xy dy$चरों को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{y dy}{1 + y^2}$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{x} dx = \int \frac{y}{1 + y^2} dy$दाहिनी ओर के समाकलन को सरल बनाने के लिए $2$ से गुणा करने पर: $2 \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{2y}{1 + y^2} dy$$2 \ln|x| = \ln(1 + y^2) + C$$\ln(x^2) = \ln(1 + y^2) + \ln(c) \implies x^2 = c(1 + y^2)$चूंकि वक्र बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरता है,$x = 1$ और $y = 0$ रखने पर: $1^2 = c(1 + 0^2) \implies c = 1$वक्र का समीकरण $x^2 = 1 + y^2$ है,जिसे सरल करने पर $x^2 - y^2 = 1$ प्राप्त होता है।यह $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप का एक आयताकार अतिपरवलय है,जहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 1$ है।इस अतिपरवलय के लिए,$a = 1$ और $b = 1$ है। उत्केंद्रता $e$ इस प्रकार है: $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$।नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1 \cdot \sqrt{2}, 0) = (\pm \sqrt{2}, 0)$ द्वारा दी जाती हैं।

वह वक्र जो अवकल समीकरण $(1 + y^2) dx - xy\, dy = 0$ को संतुष्ट करता है और बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरता है,उसकी नाभियाँ (foci) क्या हैं?

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यदि $x = \int_{-y}^{y} \frac{dt}{\sqrt{1 + 9t^2}}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = ky$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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