फलन f(x) = (x - a)^2 cos frac{1}{(x-a)} जहाँ | vedclass

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Question

(B) $x = a$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x 	o a} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:$\lim_{x 	o a} (x - a)^2 \cos \frac{1}{x-a}$.चूँकि $-1 \leq

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$x = a$ पर अवकलनीय है

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(B) $x = a$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x 	o a} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:$\lim_{x 	o a} (x - a)^2 \cos \frac{1}{x-a}$.चूँकि $-1 \leq \cos \frac{1}{x-a} \leq 1$,इसलिए $-(x-a)^2 \leq (x-a)^2 \cos \frac{1}{x-a} \leq (x-a)^2$ होता है।स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,जैसे $x 	o a$ होता है,$-(x-a)^2$ और $(x-a)^2$ दोनों $0$ की ओर अग्रसर होते हैं,इसलिए $\lim_{x 	o a} f(x) = 0 = f(a)$। अतः,$f(x)$,$x = a$ पर सतत है।$x = a$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम $f'(a) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ की गणना करते हैं:$f'(a) = \lim_{h 	o 0} \frac{(a+h-a)^2 \cos \frac{1}{a+h-a} - 0}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h^2 \cos \frac{1}{h}}{h} = \lim_{h 	o 0} h \cos \frac{1}{h}$.पुनः,चूँकि $-1 \leq \cos \frac{1}{h} \leq 1$,इसलिए $-|h| \leq h \cos \frac{1}{h} \leq |h|$ होता है।जैसे $h 	o 0$ होता है,$-|h|$ और $|h|$ दोनों $0$ की ओर अग्रसर होते हैं,इसलिए $f'(a) = 0$। अतः,फलन $x = a$ पर अवकलनीय है।

फलन $f(x) = (x - a)^2 \cos \frac{1}{(x-a)}$ जहाँ $x \neq a$ और $f(a) = 0$ के लिए,यह

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यदि $f(x)=\begin{cases} \frac{2 x e^{\frac{1}{2 x}}-3 x e^{\frac{-1}{2 x}}}{e^{\frac{1}{2 x}}+4 e^{\frac{-1}{2 x}}} & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ एक वास्तविक मान वाला फलन है,तो:

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है?

फलन $y = e^{-|x|}$ है

फलन $y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1 + x^2}\right)$ किस मान के लिए अवकलनीय नहीं है?

निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?

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