यदि f(x)=begin{cases} frac{2 x e^{frac{1}{2 x | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{2 x e^{\frac{1}{2 x}}-3 x e^{\frac{-1}{2 x}}}{e^{\frac{1}{2 x}}+4 e^{-\frac{1}{2 x}}} & x 
eq 0 \ 0 & x

Vedclass · Accepted Answer

$f$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{2 x e^{\frac{1}{2 x}}-3 x e^{\frac{-1}{2 x}}}{e^{\frac{1}{2 x}}+4 e^{-\frac{1}{2 x}}} & x 
eq 0 \ 0 & x=0 \end{cases}$ है।सबसे पहले,$x=0$ पर बायां अवकलज ($L$.$H$.$D$.) ज्ञात करें:$f^{\prime}(0^{-}) = \lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{f(0-h)-f(0)}{-h} = \lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{f(-h)-0}{-h}$$= \lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{-2h e^{\frac{-1}{2h}} + 3h e^{\frac{1}{2h}}}{-h(e^{\frac{-1}{2h}} + 4e^{\frac{1}{2h}})} = \lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{2e^{\frac{-1}{2h}} - 3e^{\frac{1}{2h}}}{e^{\frac{-1}{2h}} + 4e^{\frac{1}{2h}}}$अंश और हर को $e^{\frac{1}{2h}}$ से विभाजित करने पर:$= \lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{2e^{\frac{-1}{h}} - 3}{e^{\frac{-1}{h}} + 4} = \frac{0 - 3}{0 + 4} = -\frac{3}{4}$.अब,$x=0$ पर दायां अवकलज ($R$.$H$.$D$.) ज्ञात करें:$f^{\prime}(0^{+}) = \lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{f(h)-0}{h}$$= \lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{2h e^{\frac{1}{2h}} - 3h e^{\frac{-1}{2h}}}{h(e^{\frac{1}{2h}} + 4e^{\frac{-1}{2h}})} = \lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{2e^{\frac{1}{2h}} - 3e^{\frac{-1}{2h}}}{e^{\frac{1}{2h}} + 4e^{\frac{-1}{2h}}}$अंश और हर को $e^{\frac{1}{2h}}$ से विभाजित करने पर:$= \lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{2 - 3e^{\frac{-1}{h}}}{1 + 4e^{\frac{-1}{h}}} = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2$.चूंकि $f^{\prime}(0^{-}) 
eq f^{\prime}(0^{+})$,इसलिए फलन $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।

यदि $f(x)=\begin{cases} \frac{2 x e^{\frac{1}{2 x}}-3 x e^{\frac{-1}{2 x}}}{e^{\frac{1}{2 x}}+4 e^{\frac{-1}{2 x}}} & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ एक वास्तविक मान वाला फलन है,तो:

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x \ln(\cos x)}{\ln(1 + x^2)} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ है,तो:

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