फलन y(x) जो x=sin t,y=a e^{t sqrt{2}}+b e^{-t | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $x = \sin t$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \cos t$. दिया गया है $y = a e^{t \sqrt{2}} + b e^{-t \sqrt{2}}$. अतः $\frac{dy}{dt} = a \sqrt{2} e

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$2$

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(B) दिया गया है $x = \sin t$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \cos t$. दिया गया है $y = a e^{t \sqrt{2}} + b e^{-t \sqrt{2}}$. अतः $\frac{dy}{dt} = a \sqrt{2} e^{t \sqrt{2}} - b \sqrt{2} e^{-t \sqrt{2}} = \sqrt{2}(a e^{t \sqrt{2}} - b e^{-t \sqrt{2}})$. अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sqrt{2}(a e^{t \sqrt{2}} - b e^{-t \sqrt{2}})}{\cos t}$. मान लीजिए $y' = \frac{dy}{dx}$. तो $y' \cos t = \sqrt{2}(a e^{t \sqrt{2}} - b e^{-t \sqrt{2}})$. दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y'' \cos t - y' \sin t = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}(a e^{t \sqrt{2}} + b e^{-t \sqrt{2}}) = 2y$. यहाँ $\cos t = \sqrt{1 - x^2}$ और $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos t}$ का उपयोग करने पर,$y'' \cos t - y' \frac{\sin t}{\cos t} = 2y \frac{1}{\cos t}$. $\cos t$ से गुणा करने पर: $y'' \cos^2 t - y' \sin t = 2y$. $\cos^2 t = 1 - x^2$ और $\sin t = x$ प्रतिस्थापित करने पर: $(1 - x^2) y'' - x y' = 2y$. अतः,$(1 - x^2) y'' - x y' = ky$ से तुलना करने पर $k = 2$ प्राप्त होता है।

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यदि $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ और $y=\frac{2 a t}{1+t^{2}}$ है,तो $\frac{d y}{d x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f^{\prime}(x)=\sqrt{2 x^2-1}$ और $y=f(x^3)$ है,तो $x=1$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ का $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए।

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