फलन f: N rightarrow Z जो f(n) = begin{cases} | vedclass

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Question

(C) यह जाँचने के लिए कि फलन $f: N \rightarrow Z$ एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है या नहीं,हम इसके प्रतिचित्रण का विश्लेषण करते हैं:$1$. एकैकी की ज

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एकैकी और आच्छादक है

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(C) यह जाँचने के लिए कि फलन $f: N \rightarrow Z$ एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है या नहीं,हम इसके प्रतिचित्रण का विश्लेषण करते हैं:$1$. एकैकी की जाँच:यदि $n$ सम है,तो $f(n) = \frac{n}{2}$। $n \in \{2, 4, 6, \dots\}$ के लिए,मान $f(2)=1, f(4)=2, f(6)=3, \dots$ प्राप्त होते हैं,जो धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots\}$ पर मैप होते हैं।यदि $n$ विषम है,तो $f(n) = -\left(\frac{n-1}{2}\right)$। $n \in \{1, 3, 5, \dots\}$ के लिए,मान $f(1)=0, f(3)=-1, f(5)=-2, \dots$ प्राप्त होते हैं,जो गैर-धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय $\{0, -1, -2, \dots\}$ पर मैप होते हैं।चूँकि प्रत्येक भिन्न इनपुट $n \in N$ के लिए $Z$ में एक भिन्न आउटपुट प्राप्त होता है,इसलिए फलन एकैकी है।$2$. आच्छादक की जाँच:किसी भी पूर्णांक $y \in Z$ के लिए,यदि $y > 0$ है,तो हम $n = 2y$ (जो सम है) चुन सकते हैं,जिससे $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$। यदि $y \le 0$ है,तो हम $n = -2y + 1$ (जो विषम है) चुन सकते हैं,जिससे $f(-2y+1) = -\left(\frac{-2y+1-1}{2}\right) = -(-y) = y$। चूँकि प्रत्येक $y \in Z$ का $N$ में पूर्व-प्रतिबिंब (pre-image) मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।अतः,फलन एकैकी और आच्छादक है।

$(A)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=px+q$ $(p \neq 0)$,$\forall x \in R$	$I.$ $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक
$(B)$ $f: R \rightarrow R^{+} \cup\{0\}$ इस प्रकार है कि $f(x)=x^2$,$\forall x \in R$	$II.$ $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है
$(C)$ $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार है कि $f(n)=n^2+2n+3$,$\forall n \in N$	$III.$ $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है
$(D)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=2(\cos ^2 5x+\sin ^2 5x)$ $\forall x \in R$	$IV.$ $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है
	$V.$ $f$ एक अचर फलन है और एकैकी-आच्छादक भी है

फलन $f: N \rightarrow Z$ जो $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & , n \text{ सम है} \\ -\left(\frac{n-1}{2}\right) & , n \text{ विषम है} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,वह . . . . . . है।

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