x 0 માટે વિધેય f(x) = x^x કયા અંતરાલમાં ચુસ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $f(x) = x^x$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln f(x) = x \ln x$ મળે. $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \

Vedclass · Accepted Answer

$x > \frac{1}{e}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $f(x) = x^x$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln f(x) = x \ln x$ મળે. $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ મળે. આમ,$f'(x) = x^x(1 + \ln x)$. વિધેય ચુસ્ત વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે. $x > 0$ હોવાથી,$x^x$ હંમેશા ધન છે. તેથી,$1 + \ln x > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\ln x > -1$. આ $\ln x > \ln(\frac{1}{e})$ ને સમાન છે. તેથી,$x > \frac{1}{e}$.

$x > 0$ માટે વિધેય $f(x) = x^x$ કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે?

Similar Questions

ધારો કે $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ જ્યાં $0 < b^2 < c$ છે. તો $f(x)$:

ધારો કે $g(x) = 2f(\frac{x}{2}) + f(2 - x)$ અને $f''(x) < 0$ દરેક $x \in (0, 2)$ માટે છે. તો $g(x)$ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે?

નીચેનામાંથી કયા અંતરાલમાં વિધેય $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે?

કયા અંતરાલમાં વિધેય $f(x) = x^2 - x + 1$ એકસૂત્રીય (monotonic) નથી?

નીચેનામાંથી કયું વિધેય એકસૂત્રી વધતું વિધેય છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module