વિધેય $f(x)=2 x^3-9 a x^2+12 a^2 x+1$ $(a>0)$ અનુક્રમે $p$ અને $q$ આગળ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને $p^2=q$ છે. તો,$a=$

$X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો એક લંબચોરસ,વક્રો $y=x^2-4$ અને $y=\frac{4-x^2}{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશમાં અંતર્ગત છે. આવા લંબચોરસનું મહત્તમ શક્ય ક્ષેત્રફળ કયા પૂર્ણાંકની સૌથી નજીક છે?

ધારો કે $\lambda$ ના તમામ ધન મૂલ્યોનો ગણ,જેના માટે વિધેય $f(x) = 1 + x(\lambda^2 - x^2)$ નું સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ $\frac{x^2+x+2}{x^2+5x+6} < 0$ નું સમાધાન કરે છે,તે $(\alpha, \beta)$ છે. તો $\alpha^2 + \beta^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $AD$ અને $BC$ એ સમક્ષિતિજ જમીન પર અનુક્રમે $A$ અને $B$ આગળ આવેલા બે ઉભા થાંભલા છે. જો $AD = 8 \ m$,$BC = 11 \ m$ અને $AB = 10 \ m$ હોય,તો $AB$ પરના બિંદુ $M$ નું બિંદુ $A$ થી અંતર (મીટરમાં) શોધો જેથી $MD^{2} + MC^{2}$ ન્યૂનતમ થાય.

$g(x)=-|x+1|+3$ દ્વારા આપવામાં આવેલા વિધેય માટે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધો.

વિધેય $f(x) = \sin(2x) - x$ માટે અંતરાલ $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ પર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો વચ્ચેનો તફાવત શોધો.