વિધેય $f(x) = x(x + 3)e^{-\frac{1}{2}x}$, $[-3, 0]$ માં રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે. $c$ ની કિંમત શોધો જેના માટે $f'(c) = 0$ થાય.

બધા જ બે વાર વિકલનીય વિધેયો $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ માટે,જ્યાં $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

$f:[2,10] \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(x-6)^2-3, & x \leq 4 \\ x-5, & x > 4 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

ધારો કે $f$ એ $[a, b]$ પર સતત વિકલનીય વિધેય છે અને $(a, b)$ પર બે વાર વિકલનીય છે, જેથી $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ અને $f(b)=0$ થાય. તો:

ધારો કે $f(x) = \int\limits_0^x {\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\,dt}$ અને $x \in \left[ {\frac{1}{2}, 3} \right]$ માટે $g(x) = f'(x)$ છે. જો $P$ એ વક્ર $y = g(x)$ પરનું એવું બિંદુ હોય કે જેથી $P$ આગળનો સ્પર્શક,વક્રના બિંદુઓ $\left( {\frac{1}{2}, g\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right)$ અને $(3, g(3))$ ને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય,તો બિંદુ $P$ ના યામ શોધો.

જો સમીકરણ $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x = 0$ નું એક ધન બીજ $x = \alpha$ હોય,તો સમીકરણ $na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ ના ધન બીજ વિશે શું કહી શકાય?