फलन f(x) = frac{ln(pi + x)}{ln(e + x)} है | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = \frac{\ln(\pi + x)}{\ln(e + x)}$.भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{\ln(e + x) \cdot \frac{1}{\pi + x} - \ln(\pi + x) \cdot

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$[0, \infty)$ पर ह्रासमान

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(B) माना $f(x) = \frac{\ln(\pi + x)}{\ln(e + x)}$.भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{\ln(e + x) \cdot \frac{1}{\pi + x} - \ln(\pi + x) \cdot \frac{1}{e + x}}{(\ln(e + x))^2}$.$f'(x) = \frac{(e + x)\ln(e + x) - (\pi + x)\ln(\pi + x)}{(\ln(e + x))^2 (e + x)(\pi + x)}$.$t > 0$ के लिए फलन $g(t) = t \ln(t)$ पर विचार करें। तब $g'(t) = \ln(t) + 1$। $t > 1/e$ के लिए,$g'(t) > 0$,इसलिए $g(t)$ एक वर्धमान फलन है।चूंकि $\pi > e$,$x \ge 0$ के लिए,हमारे पास $\pi + x > e + x > e > 1$ है। अतः,$g(\pi + x) > g(e + x)$,जिसका अर्थ है कि $(\pi + x)\ln(\pi + x) > (e + x)\ln(e + x)$।इसलिए,अंश $(e + x)\ln(e + x) - (\pi + x)\ln(\pi + x) चूंकि हर हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $f'(x) अतः,$f(x)$ अंतराल $[0, \infty)$ पर ह्रासमान है।

फलन $f(x) = \frac{\ln(\pi + x)}{\ln(e + x)}$ है

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फलन $f(x) = \frac{x}{\log_x e}$ अंतराल . . . . . . पर वर्धमान है,जहाँ $x \in \mathbb{R}^+ - \{1\}$ है।

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