फलन f(x) = begin{cases} 2x + 1, & x in mathbb | vedclass

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Question

(D) जब फलन $f(x) = g(x)$ जब $x \in \mathbb{Q}$ और $f(x) = h(x)$ जब $x 
otin \mathbb{Q}$ के रूप में परिभाषित हो,तो फलन $x = a$ पर सतत होता है यदि और क

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केवल एक बिंदु पर अवकलनीय और सतत है और अन्यत्र असतत है

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(D) जब फलन $f(x) = g(x)$ जब $x \in \mathbb{Q}$ और $f(x) = h(x)$ जब $x 
otin \mathbb{Q}$ के रूप में परिभाषित हो,तो फलन $x = a$ पर सतत होता है यदि और केवल यदि $g(a) = h(a)$ हो।यहाँ,$g(x) = 2x + 1$ और $h(x) = x^2 - 2x + 5$ है।$g(x) = h(x)$ रखने पर,$2x + 1 = x^2 - 2x + 5$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 4x + 4 = 0$ या $(x - 2)^2 = 0$ हो जाता है।अतः,$x = 2$ ही एकमात्र बिंदु है जहाँ फलन सतत है।$x = a$ पर अवकलनीयता के लिए,फलन को $x = a$ पर सतत होना चाहिए और अवकलजों को $g'(a) = h'(a)$ को संतुष्ट करना चाहिए।यहाँ,$g'(x) = 2$ और $h'(x) = 2x - 2$ है।$x = 2$ पर,$g'(2) = 2$ और $h'(2) = 2(2) - 2 = 2$ प्राप्त होता है।चूँकि $g'(2) = h'(2)$ है,इसलिए फलन $x = 2$ पर अवकलनीय है।अतः,फलन केवल $x = 2$ पर सतत और अवकलनीय है और अन्यत्र असतत है।

फलन $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \in \mathbb{Q} \\ x^2 - 2x + 5, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ है

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