समीकरण frac{dy}{dx} + y f^{prime}(x) - f(x) f | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f^{\prime}(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है

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$y = f(x) - 1 + ce^{-f(x)}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f^{\prime}(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = f^{\prime}(x)$ और $Q(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int f^{\prime}(x) dx} = e^{f(x)}$ है।व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर, $y \cdot e^{f(x)} = \int f(x) f^{\prime}(x) e^{f(x)} dx + C$ प्राप्त होता है।माना $u = f(x)$, तो $du = f^{\prime}(x) dx	ext{।}$ समाकलन $\int u e^u du$ बन जाता है।खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर, $\int u e^u du = u e^u - e^u$ होता है।अतः, $y \cdot e^{f(x)} = f(x) e^{f(x)} - e^{f(x)} + C$ है।$e^{f(x)}$ से भाग देने पर, $y = f(x) - 1 + C e^{-f(x)}$ प्राप्त होता है।

समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f^{\prime}(x) - f(x) f^{\prime}(x) = 0$, जहाँ $y \neq f(x)$, का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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यदि $y+\frac{d}{d x}(x y)=x(\sin x+\log x)$ है,तो $y$ ज्ञात कीजिए।

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx}-\sin(2y)=x^{3}(2-x^{3})\cos^{2}y,$ $(x\ne0)$ का हल है। यदि $y(2)=0$ है, तो $\tan(y(1))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए कि $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t} f(t) dt + e^{x}$ सभी $x \in R$ के लिए एक अवकलनीय फलन है। तो $f(x)$ बराबर है ..... .

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