अवकल समीकरण (3y - 7x + 7)dx + (7y - 3x + 3)dy | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $(3y - 7x + 7)dx + (7y - 3x + 3)dy = 0$ पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(7x - 3y - 7)dx + (3x - 7y - 3)dy = 0$ $\ldots(i)$ समीकरणों $7x

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$(x - y - 1)^2(x + y - 1)^5 = C$

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(C) दिया गया समीकरण: $(3y - 7x + 7)dx + (7y - 3x + 3)dy = 0$ पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(7x - 3y - 7)dx + (3x - 7y - 3)dy = 0$ $\ldots(i)$ समीकरणों $7x - 3y - 7 = 0$ और $3x - 7y - 3 = 0$ को हल करने पर, हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ प्राप्त होता है। $x = 1 + u$ और $y = 0 + v = v$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = du$ और $dy = dv$ होगा। समीकरण $(i)$ में रखने पर: $(7u - 3v)du + (3u - 7v)dv = 0$ $\ldots(ii)$ यह एक समघातीय समीकरण है। $u = tv$ रखने पर, $du = t dv + v dt$ होगा। समीकरण $(ii)$ में रखने पर: $(7tv - 3v)(t dv + v dt) + (3tv - 7v)dv = 0$ $(7t - 3)(t dv + v dt) + (3t - 7)dv = 0$ $(7t^2 - 7)dv + v(7t - 3)dt = 0$ $\int \frac{dv}{v} + \int \frac{7t - 3}{7(t^2 - 1)} dt = 0$ आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{7t - 3}{t^2 - 1} = \frac{2}{t - 1} + \frac{5}{t + 1}$ $\ln |v| + \frac{1}{7} [2 \ln |t - 1| + 5 \ln |t + 1|] = C_1$ $7 \ln |v| + 2 \ln |t - 1| + 5 \ln |t + 1| = C_2$ $\ln |v^7 (t - 1)^2 (t + 1)^5| = C_2$ $t = u/v$ रखने पर: $v^7 (u/v - 1)^2 (u/v + 1)^5 = C$ $(u - v)^2 (u + v)^5 = C$ $u = x - 1$ और $v = y$ रखने पर: $(x - y - 1)^2 (x + y - 1)^5 = C$

अवकल समीकरण $(3y - 7x + 7)dx + (7y - 3x + 3)dy = 0$ का व्यापक हल है

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