मान लीजिए कि अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} - y = | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{y^2 + 16x^2}$ है।$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \sqrt{(\frac{y}{x})^2 + 16}$

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$15$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{y^2 + 16x^2}$ है।$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \sqrt{(\frac{y}{x})^2 + 16}$.माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} - v = \sqrt{v^2 + 16}$.$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{v^2 + 16} \Rightarrow \int \frac{dv}{\sqrt{v^2 + 16}} = \int \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|v + \sqrt{v^2 + 16}| = \ln|x| + \ln|C|$.$v + \sqrt{v^2 + 16} = Cx \Rightarrow \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^2}{x^2} + 16} = Cx$.$y + \sqrt{y^2 + 16x^2} = Cx^2$.$y(1) = 3$ का उपयोग करने पर: $3 + \sqrt{3^2 + 16(1)^2} = C(1)^2 \Rightarrow 3 + \sqrt{25} = C \Rightarrow C = 8$.अतः,$y + \sqrt{y^2 + 16x^2} = 8x^2$.$x = 2$ के लिए: $y + \sqrt{y^2 + 16(4)} = 8(4) = 32$.$y + \sqrt{y^2 + 64} = 32 \Rightarrow \sqrt{y^2 + 64} = 32 - y$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 + 64 = 1024 - 64y + y^2$.$64y = 960 \Rightarrow y = 15$.

मान लीजिए कि अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{y^2 + 16x^2}$ और प्रारंभिक शर्त $y(1) = 3$ का हल वक्र $y = y(x)$ है। तो $y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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