अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{y + sqrt{x^2 | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 - y^2}}{x} \dots (i)$ चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,हम $y = vx$ प्रतिस्थापित करते

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$\sin^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log x + c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 - y^2}}{x} \dots (i)$ चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,हम $y = vx$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिससे $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} \dots (ii)$ $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 - v^2x^2}}{x}$ $v + x\frac{dv}{dx} = v + \sqrt{1 - v^2}$ $x\frac{dv}{dx} = \sqrt{1 - v^2}$ चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{dx}{x}$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\sin^{-1}(v) = \log|x| + c$ $v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\sin^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + c$

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 - y^2}}{x}$ का व्यापक हल है

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