अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{x - y}{x + y} | vedclass

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Question

(D) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}$ है।माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।समीकरण में प्रतिस्थाप

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सरल रेखाओं का युग्म

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(D) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}$ है।माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x - vx}{x + vx} = \frac{1 - v}{1 + v}$।$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 - v}{1 + v} - v = \frac{1 - 2v - v^2}{1 + v}$।चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{1 + v}{1 - 2v - v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$।माना $u = 1 - 2v - v^2$, तब $du = -2(1 + v) dv$, अतः $(1 + v) dv = -\frac{1}{2} du$।$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \ln|x| + C$।$-\frac{1}{2} \ln|1 - 2v - v^2| = \ln|x| + C$।$1 - 2(\frac{y}{x}) - (\frac{y}{x})^2 = \frac{k}{x^2}$।$x^2 - 2xy - y^2 = k$। चूँकि $x=0, y=0$, इसलिए $k=0$।$x^2 - 2xy - y^2 = 0$, जो सरल रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}$, जहाँ प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 0$ है, निम्नलिखित में से किस वक्र को दर्शाता है?

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