अवकल समीकरण left(frac{1}{x^2}+xright) frac{d | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण है: $\left(\frac{1}{x^2}+x\right) \frac{d y}{d x}+3 y=1$ $\left(\frac{1+x^3}{x^2}\right)$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त हो

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$(3 y-1) x^3+3 y=c$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण है: $\left(\frac{1}{x^2}+x\right) \frac{d y}{d x}+3 y=1$ $\left(\frac{1+x^3}{x^2}\right)$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x}+\frac{3 x^2}{1+x^3} y=\frac{x^2}{1+x^3}$ यह $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P=\frac{3 x^2}{1+x^3}$ और $Q=\frac{x^2}{1+x^3}$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P d x} = e^{\int \frac{3 x^2}{1+x^3} d x} = e^{\log(1+x^3)} = 1+x^3$. व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) d x + c$ है। मान रखने पर: $y(1+x^3) = \int \left(\frac{x^2}{1+x^3}\right)(1+x^3) d x + c$. $y(1+x^3) = \int x^2 d x + c$. $y(1+x^3) = \frac{x^3}{3} + c$. $3$ से गुणा करने पर: $3y(1+x^3) = x^3 + 3c$. $3y + 3yx^3 - x^3 = 3c$. $(3y-1)x^3 + 3y = C$ (जहाँ $C = 3c$).

अवकल समीकरण $\left(\frac{1}{x^2}+x\right) \frac{d y}{d x}+3 y=1$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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