फलन y = f(x) का ग्राफ जो बिंदु (0, 1) से गुजर | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cos x$ और $Q = \cos x$ है। समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\in

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उपरोक्त सभी

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cos x$ और $Q = \cos x$ है। समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P \, dx} = e^{\int \cos x \, dx} = e^{\sin x}$ द्वारा प्राप्त होता है। व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) \, dx + C$ है। मान रखने पर: $y \cdot e^{\sin x} = \int \cos x \cdot e^{\sin x} \, dx + C$. माना $u = \sin x$,तो $du = \cos x \, dx$। समाकलन $\int e^u \, du = e^u = e^{\sin x}$ बन जाता है। अतः,$y \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x} + C$. $e^{\sin x}$ से भाग देने पर,हमें $y = 1 + C e^{-\sin x}$ प्राप्त होता है। चूँकि वक्र बिंदु $(0, 1)$ से गुजरता है,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर: $1 = 1 + C e^{-\sin 0} \implies 1 = 1 + C(1) \implies C = 0$. इस प्रकार,फलन $y = 1$ है। चूँकि $y = 1$ एक अचर फलन है,यह आवर्ती भी है (किसी भी आवर्तकाल $T > 0$ के लिए) और यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत और अवकलनीय है। अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

फलन $y = f(x)$ का ग्राफ जो बिंदु $(0, 1)$ से गुजरता है और अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \cos x = \cos x$ को संतुष्ट करता है,वह कैसा है?

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (\sec x)y = \tan x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$.

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