{(sin ^{ - 1}}x)^3 + {(cos ^{ - 1}}x)^3 का अध | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = (\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3$. हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$. माना $u = \si

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$\frac{{7{\pi ^3}}}{8},\,\,\frac{{{\pi ^3}}}{{32}}$

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(C) माना $f(x) = (\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3$. हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$. माना $u = \sin^{-1} x$. तो $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$. चूंकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. अब,$f(u) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - 3u^2(\frac{\pi}{2}) + 3u(\frac{\pi^2}{4}) - u^3 = \frac{3\pi^2}{4}u - \frac{3\pi}{2}u^2 + \frac{\pi^3}{8}$. पूर्ण वर्ग बनाने पर: $f(u) = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32}$. $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,न्यूनतम मान $u = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है,जो $f_{min} = \frac{\pi^3}{32}$ है। अधिकतम मान सीमा $u = -\frac{\pi}{2}$ पर प्राप्त होता है,जो $f_{max} = \frac{3\pi}{2}(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32} = \frac{7\pi^3}{8}$ है।

${(\sin ^{ - 1}}x)^3 + {(\cos ^{ - 1}}x)^3$ का अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

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यदि ${\sin ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi }{2}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${\tan ^{ - 1}}\frac{{1 - x}}{{1 + x}} = \frac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}x$ है,तो $x = $

$\tan \left\{\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)+\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{1-y^2}{1+y^2}\right)\right\}$ का मान है

$\frac{d}{dx}[\tan^{-1}(\cot x) + \cot^{-1}(\tan x)] = $

मान लीजिए $S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \tan^{-1}\left(\frac{6^{r}}{2^{2r+1} + 3^{2r+1}}\right)$. तो $\lim_{k \rightarrow \infty} S_{k}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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