समाकलन int_{0}^{2} ||x-1|-x| dx का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = ||x-1|-x|$ है।हम निरपेक्ष मान के अंदर के व्यंजक का विश्लेषण करते हैं:यदि $x \geq 1$ है,तो $|x-1| = x-1$,इसलिए $f(x) = |(x-1)-x| = |-1

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$1$

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(A) माना $f(x) = ||x-1|-x|$ है।हम निरपेक्ष मान के अंदर के व्यंजक का विश्लेषण करते हैं:यदि $x \geq 1$ है,तो $|x-1| = x-1$,इसलिए $f(x) = |(x-1)-x| = |-1| = 1$ होगा।यदि $x अतः,$f(x) = \begin{cases} |1-2x|, & 0 \leq x अब,हम समाकलन का मान ज्ञात करते हैं:$\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{1} |1-2x| dx + \int_{1}^{2} 1 dx$।पहले भाग के लिए,जब $x \leq 1/2$ है तो $|1-2x| = 1-2x$ और जब $x > 1/2$ है तो $2x-1$ होता है:$\int_{0}^{1} |1-2x| dx = \int_{0}^{1/2} (1-2x) dx + \int_{1/2}^{1} (2x-1) dx$$= [x-x^2]_{0}^{1/2} + [x^2-x]_{1/2}^{1}$$= (1/2 - 1/4) - 0 + (1-1) - (1/4 - 1/2) = 1/4 + 1/4 = 1/2$।दूसरे भाग के लिए:$\int_{1}^{2} 1 dx = [x]_{1}^{2} = 2-1 = 1$।कुल समाकलन = $1/2 + 1 = 1.5$।

समाकलन $\int_{0}^{2} ||x-1|-x| dx$ का मान ज्ञात कीजिए। ($.5$ में)

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