સંકલન int_{0}^{1} frac{1}{7^{left[frac{1}{x}r | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} 7^{-\left[\frac{1}{x}\right]} dx$. ધારો કે $n = \left[\frac{1}{x}\right]$,તો $n \le \frac{1}{x} < n+1$,જે સૂચવે છે કે $\

Vedclass · Accepted Answer

$1+6 \log _{e}\left(\frac{6}{7}\right)$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} 7^{-\left[\frac{1}{x}\right]} dx$. ધારો કે $n = \left[\frac{1}{x}\right]$,તો $n \le \frac{1}{x} જેમ $x$ એ $0$ થી $1$ સુધી જાય છે,તેમ $n$ એ $\infty$ થી $1$ સુધી જાય છે.$I = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} 7^{-n} dx = \sum_{n=1}^{\infty} 7^{-n} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n (n+1)}$.વિસ્તરણ $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/7)^n}{n} = -\ln(1 - 1/7) = -\ln(6/7) = \ln(7/6)$.બીજા ભાગ માટે,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n (n+1)} = 7 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/7)^{n+1}}{n+1} = 7 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/7)^k}{k} = 7 [-\ln(1 - 1/7) - 1/7] = 7 [\ln(7/6) - 1/7] = 7 \ln(7/6) - 1$.આમ,$I = \ln(7/6) - (7 \ln(7/6) - 1) = 1 - 6 \ln(7/6) = 1 + 6 \ln(6/7)$.

સંકલન $\int_{0}^{1} \frac{1}{7^{\left[\frac{1}{x}\right]}} dx$,જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તે કોના બરાબર છે?

Similar Questions

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\cos x} = $

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos \theta} \cdot \sin^{3} \theta d \theta = . . . . . .$

ધારો કે $\alpha > 0$. જો $\int \limits _0^\alpha \frac{ x }{\sqrt{ x +\alpha}-\sqrt{ x }} dx =\frac{16+20 \sqrt{2}}{15}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

જો $\int_a^b x^3 dx = 0$ અને $\int_a^b x^2 dx = \frac{2}{3}$ હોય,તો $a$ અને $b$ અનુક્રમે શું થાય?

જો $x({x^4} + 1)\phi (x) = 1,$ હોય,તો $\int_1^2 {\phi (x)\,dx = } $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module