समाकलन int frac{sin ^2 x cos ^2 x}{left(sin ^ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x}{(\sin ^5 x + \cos ^3 x \sin ^2 x + \sin ^3 x \cos ^2 x + \cos ^5 x)^2} \,dx$. हर का गुणनखंड करने पर: $\s

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$\frac{-1}{3\left(1+	an ^3 xight)}+c$, जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x}{(\sin ^5 x + \cos ^3 x \sin ^2 x + \sin ^3 x \cos ^2 x + \cos ^5 x)^2} \,dx$. हर का गुणनखंड करने पर: $\sin ^5 x + \sin ^3 x \cos ^2 x + \cos ^3 x \sin ^2 x + \cos ^5 x = \sin ^3 x(\sin ^2 x + \cos ^2 x) + \cos ^3 x(\sin ^2 x + \cos ^2 x) = \sin ^3 x + \cos ^3 x$. अतः, $I = \int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x}{(\sin ^3 x + \cos ^3 x)^2} \,dx$. अंश और हर को $\cos ^6 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{	an ^2 x \sec ^2 x}{(1 + 	an ^3 x)^2} \,dx$. माना $t = 1 + 	an ^3 x$. तब $dt = 3 	an ^2 x \sec ^2 x \,dx$, जिसका अर्थ है कि $	an ^2 x \sec ^2 x \,dx = \frac{1}{3} dt$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \frac{1}{3} \int \frac{1}{t^2} \,dt = \frac{1}{3} (-t^{-1}) + c = -\frac{1}{3t} + c$. $t$ का मान वापस रखने पर: $I = \frac{-1}{3(1 + 	an ^3 x)} + c$.

समाकलन $\int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x}{\left(\sin ^5 x+\cos ^3 x \sin ^2 x+\sin ^3 x \cos ^2 x+\cos ^5 x\right)^2} \,d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x} d x = \_\_\_\_$

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