अवकल समीकरण y dx - (x + 2y^2) dy = 0 का समाकल | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y dx - (x + 2y^2) dy = 0$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dx - x dy = 2y^2 dy$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों को $y^2$

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$\frac{1}{y}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y dx - (x + 2y^2) dy = 0$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dx - x dy = 2y^2 dy$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर (जहाँ $y 
eq 0$): $\frac{y dx - x dy}{y^2} = 2 dy$ प्राप्त होता है।भागफल के अवकलज को पहचानने पर: $d\left(\frac{x}{y}ight) = 2 dy$ होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int d\left(\frac{x}{y}ight) = \int 2 dy$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है $\frac{x}{y} = 2y + C$ है।वैकल्पिक रूप से,समीकरण को $\frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = 2y$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 2y$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = e^{\ln|y|^{-1}} = \frac{1}{y}$ द्वारा दिया जाता है।अतः,सही विकल्प $D$ है।

अवकल समीकरण $y dx - (x + 2y^2) dy = 0$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

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मान लीजिए कि एक अवकलनीय फलन $f$ समीकरण $f(x) + \int_{3}^{x} \frac{f(t)}{t} dt = \sqrt{x+1}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $x \geq 3$ है। तो $12f(8)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $(\tan ^{-1} y-x) dy = (1+y^2) dx$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

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